Uma pessoa foi ao supermercado e suas compras totalizaram R$ 37,50. O cliente entregou uma nota de R$ 50,00, mas o caixa alegou não ter troco. As únicas cédulas disponíveis para fazer o troco eram: R$ 20,00; R$ 10,00; R$ 5,00; R$ 2,00. Considerando isso, o caixa perguntou se o cliente tinha um determinado valor para dar a mais, de modo que o troco pudesse ser feito com as cédulas disponíveis. Dentre os valores a seguir, o único que não possibilita que isso seja feito é

O valor da compra foi $37{,}50$ e o cliente deu $50{,}00$, então o troco “ideal” seria:

$50{,}00-37{,}50=12{,}50.$

Como o caixa não tem moedas, apenas cédulas de $20, 10, 5, 2$, ele pede para o cliente dar um valor $x$ a mais, para que o novo troco seja:

$\text{troco novo}= (50{,}00+x) - 37{,}50 = 12{,}50 + x.$

Para ser possível, $12{,}50+x$ precisa ser um valor inteiro (sem centavos), pois só assim pode ser formado com cédulas.

Testando as opções:

• Se $x=12{,}50$, então o troco novo é $12{,}50+12{,}50=25{,}00$.
  • Mas $25$ não pode ser formado com $20,10,5,2$ (as somas possíveis dão apenas valores pares, ou então valores que usam 5 e continuam com parte par; $25$ exigiria $20+5$ e sobra $0$ — isso parece possível, mas atenção: $20+5=25$ é possível sim. Então precisamos checar a condição correta: o problema não é formar 25, é que para o cliente dar “a mais”, ele teria que ter esse valor exato e ainda assim o caixa conseguiria devolver o troco. Como $25$ é possível com $20+5$, isso possibilita. Logo, esse não é o impeditivo. Vamos corrigir: o critério é apenas conseguir formar o troco com as cédulas; então $25$ é possível.

Reavaliando com cuidado: o caixa inicialmente não consegue fazer $12{,}50$ de troco porque não há moedas. Ele pede um valor $x$ a mais para que o troco seja feito apenas com cédulas. Então precisamos de $12{,}50+x$ ser inteiro e representável por $20,10,5,2$.

• $x=0{,}50$ → troco $=13{,}00$.
  • $13$ não pode ser formado por $20,10,5,2$ (não há cédula de 1 e combinações com 2 dão apenas pares; com 5 dá ímpar, mas para chegar em 13 precisaríamos de $5+2+2+2=11$ ou $10+2=12$ etc.). Impossível.
• $x=4{,}50$ → troco $=17{,}00$.
  • $17$ é possível: $10+5+2=17$.
• $x=7{,}50$ → troco $=20{,}00$.
  • $20$ é possível: $20$.
• $x=12{,}50$ → troco $=25{,}00$.
  • $25$ é possível: $20+5$.

Assim, o único valor que não permite fazer o troco com as cédulas disponíveis é $0{,}50$.