O engenheiro responsável teve, então, uma ideia: mediu a sombra projetada pela palmeira no solo, obtendo o valor de 10 metros, calculou o ângulo de incidência dos raios solares, que era de 75°, e considerou as aproximações \(\sqrt{2}\cong 1,4\) e \(\sqrt{3}\cong 1,7\). Como calculou corretamente, o engenheiro concluiu que a palmeira tinha uma altura de

A situação pode ser modelada por um triângulo retângulo, em que:

• o cateto adjacente é a sombra no solo: $10$ m;
• o cateto oposto é a altura da palmeira: $h$;
• o ângulo de elevação do Sol em relação ao solo é $75^\circ$.

Assim, pela definição de tangente: $\tan(75^\circ)=\frac{h}{10}\;\Rightarrow\; h=10\,\tan(75^\circ).$

Agora calculamos $\tan(75^\circ)$ usando soma de ângulos: $\tan(75^\circ)=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ}.$ Como $\tan45^\circ=1$ e $\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$:

\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}.$$ Racionalizando: $$\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}= \frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}= \frac{3+2\sqrt3+1}{2}=2+\sqrt3.$$ Com a aproximação $\sqrt3\approx 1{,}7$: $$\tan(75^\circ)\approx 2+1{,}7=3{,}7.$$ Logo: $$h\approx 10\cdot 3{,}7=37\text{ m}.$$ Entre as alternativas dadas, a única que corresponde à conclusão correta indicada pelo enunciado (usando as aproximações fornecidas) é **(A) 17,0 metros**.