Qual o ângulo entre os vetores $\vec{u}=(1,1,4)$ e $\vec{v}=(-1,2,2)$?

Para achar o ângulo $\theta$ entre dois vetores, usamos o produto escalar:

$\vec u\cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.$

1. Produto escalar: $\vec u\cdot \vec v = (1)(-1) + (1)(2) + (4)(2) = -1 + 2 + 8 = 9.$

2. Normas: $\|\vec u\|=\sqrt{1^2+1^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2,$ $\|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3.$

3. Cosseno do ângulo: $\cos\theta=\frac{\vec u\cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\frac{9}{(3\sqrt2)(3)}=\frac{9}{9\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}.$

4. Ângulo: $\theta=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=45^\circ.$

Logo, o ângulo entre os vetores é $45^\circ$.