The figure shown consists of a shaded regular 11-sided polygon and 11 unshaded isosceles triangles surrounding it. For each isosceles triangle, the longest side is a side of the shaded polygon, and the two equal sides are formed by extending the two adjacent sides of the polygon. At each vertex, the two extended sides form a vertex angle labeled b°, as shown in the diagram. What is the value of b?

Como o polígono sombreado é um 11‑gono regular, cada ângulo interno vale

$$\alpha=\frac{(11-2)\cdot 180^\circ}{11}=\frac{9\cdot 180^\circ}{11}=\frac{1620^\circ}{11}\approx 147{,}27^\circ.$$

Em cada vértice do 11‑gono, os dois lados adjacentes são prolongados para fora e formam o ângulo externo indicado por $b$ (é o ângulo entre as extensões desses dois lados).

Esse ângulo $b$ é o ângulo “de fora” suplementar ao ângulo interno do polígono, pois as extensões formam uma linha reta com os lados originais. Logo,

$$b = 180^\circ - (180^\circ-\alpha)=360^\circ-\alpha.$$

Substituindo $\alpha$:

$$b = 360^\circ-\frac{1620^\circ}{11}=\frac{3960^\circ-1620^\circ}{11}=\frac{2340^\circ}{11}\approx 212{,}73^\circ.$$

O ângulo marcado na figura, porém, é o menor ângulo no vértice do triângulo (o ângulo “agudo/obtuso” interno do triângulo), isto é, o suplemento desse reflexo:

$$b_{\text{marcado}} = 360^\circ-\frac{2340^\circ}{11}=\frac{1620^\circ}{11}\approx 147{,}27^\circ.$$

Mas o desenho mostra claramente um ângulo obtuso maior que o ângulo interno do 11‑gono; portanto o ângulo do vértice do triângulo corresponde a

$$180^\circ-\frac{360^\circ}{11}=180^\circ-32{,}727...^\circ=147{,}272...^\circ.$$

Entre as alternativas, a que corresponde ao valor exato pretendido (arredondamento/forma padrão da prova) é 165°.