A área da região determinada pela interseção das desigualdades y > 3/2 x - 3/2, y > -2/3 x + 5 e (x-3)^2 + (y-3)^2 < 9 é:

Temos o disco aberto de centro $C=(3,3)$ e raio $r=3$:

$$(x-3)^2+(y-3)^2<9.$$

As outras duas desigualdades definem semiplanos “acima” das retas

$$\ell_1: y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \quad\text{e}\quad \ell_2: y=-\frac{2}{3}x+5.$$

Observe que as retas são perpendiculares, pois seus coeficientes angulares satisfazem

$$\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)=-1.$$

Encontremos o ponto de interseção das retas:

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}x+5 \Rightarrow \left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right)x=\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{13}{6}x=\frac{13}{2} \Rightarrow x=3,$$

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$$y=\frac{3}{2}\cdot 3-\frac{3}{2}=3.$$

Portanto, as retas se cruzam exatamente no centro do círculo: $(3,3)$.

Como queremos os pontos acima de ambas as retas, isso equivale a pegar, a partir do centro, a interseção de dois semiplanos cujas fronteiras são retas perpendiculares passando pelo centro. Isso seleciona um setor angular de medida $90^\circ$ (um quarto de volta) dentro do disco.

Assim, a região pedida é um quarto da área do círculo de raio 3:

$$A=\frac{1}{4}\cdot \pi r^2=\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot 3^2=\frac{9\pi}{4}.$$