Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L^{-1}{ (1/(s-1)^3) + (1/(s^2 + 2s - 8)) }, a transformada inversa corresponde a:
Questão
Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L^{-1}{ (1/(s-1)^3) + (1/(s^2 + 2s - 8)) }, a transformada inversa corresponde a:
Alternativas
A) L^-1 = 1/2 . e^t . t^2 + 1/3 . e^-t.
Resposta certa
B) L^-1 = 1/2 . e^t . t^2 + 1/3 . e^-t . senh(3t).
C) L^-1 = e^t . t^2 + 1/3 . e^-t . sen t.
D) L^-1 = t^2 + 1/3 . e^-t . senh(3t).
E) L^-1 = 1/2 . e^t . t + 3 . e^-t . sen(3t).
Explicação
Queremos calcular
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2s-8}\right\}.$$ **1) Primeiro termo:** Usamos a propriedade $$\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.$$ Aqui, $$\frac{1}{(s-1)^3}$$ corresponde a $a=1$ e $n+1=3\Rightarrow n=2$. Logo, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^3}\right\}=\frac{t^2 e^{t}}{2!}=\frac{1}{2}e^t t^2.$$ **2) Segundo termo:** Fatoramos/reescrevemos o denominador: $$s^2+2s-8=(s+1)^2-9.$$ Então $$\frac{1}{s^2+2s-8}=\frac{1}{(s+1)^2-3^2}.$$ Lembrando que $$\mathcal{L}\{e^{at}\,\sinh(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^2-b^2},$$ para obter denominador $(s+1)^2-3^2$ precisamos de $a=-1$ e $b=3$: $$\mathcal{L}\{e^{-t}\sinh(3t)\}=\frac{3}{(s+1)^2-9}.$$ Portanto, $$\frac{1}{(s+1)^2-9}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(s+1)^2-9} \Rightarrow \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^2-9}\right\}=\frac{1}{3}e^{-t}\sinh(3t).$$ **3) Somando os resultados:** $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{3}}+\frac{1}{s^{2}+2s-8}\right\} =\frac{1}{2}e^t t^2+\frac{1}{3}e^{-t}\sinh(3t).$$Carregando…