O primeiro teorema de translação, também conhecido como propriedade de amortecimento, facilita em muito os cálculos de transformadas de Laplace. Considerando que f(t) seja “amortecida” pelo fator exponencial e^{-at}, sua transformada de Laplace apresentará um deslocamento para a esquerda em relação à nova variável. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de transformadas, dada a função t e^{3t} sua transformada corresponde a:

Queremos $\mathcal{L}\{t e^{3t}\}$.

1. Transformada básica Sabemos que $\mathcal{L}\{t\}=\int_0^\infty t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^2}.$

2. 1º teorema de translação (deslocamento em $s$) Se $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$, então $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).$ Aqui, $f(t)=t$ e $a=3$. Logo: $\mathcal{L}\{t e^{3t}\}=\mathcal{L}\{e^{3t}\,t\}=F(s-3).$ Como $F(s)=\frac{1}{s^2}$, então $F(s-3)=\frac{1}{(s-3)^2}.$

Portanto, a transformada de Laplace de $t e^{3t}$ é $\frac{1}{(s-3)^2}$.