Os vetores $\mathbf{u}=(1,-1,1)$ e $\mathbf{v}=(2,-3,4)$ representam as arestas de um paralelogramo. De quanto é a sua área?

A área $A$ do paralelogramo formado por dois vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ em $\mathbb{R}^3$ é o módulo do produto vetorial:

$A = \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|.$

Com $\mathbf{u}=(1,-1,1)$ e $\mathbf{v}=(2,-3,4)$:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}.$$ Calculando: - Componente em $\mathbf{i}$: $(-1)\cdot 4 - 1\cdot(-3) = -4 + 3 = -1$ - Componente em $\mathbf{j}$: $-(1\cdot 4 - 1\cdot 2) = -(4-2) = -2$ - Componente em $\mathbf{k}$: $1\cdot(-3) - (-1)\cdot 2 = -3 + 2 = -1$ Logo, $$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-1,-2,-1).$$ O módulo é: $$\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}.$$ Assim, a área do paralelogramo é $\sqrt{6}$ u.a. Como nas alternativas a opção correspondente é a letra (e), mas ela está escrita como $\sqrt{6}$, a área correta é $\sqrt{6}$ u.a.