Seja f(x) = (x+2)(x+1)^k(x-1)^3(x-2). Para qual raiz de f o método da bissecção converge quando aplicado no intervalo [-3;2,5]?

1. Identificando as raízes de $f(x)$

A função é

$$f(x)=(x+2)(x+1)^k(x-1)^3(x-2).$$

Logo, as raízes reais são:

• $x=-2$ (multiplicidade 1);
• $x=-1$ (multiplicidade $k$);
• $x=1$ (multiplicidade 3);
• $x=2$ (multiplicidade 1).

2. Critério de convergência da bissecção

O método da bissecção, aplicado a um intervalo $[a,b]$, garante convergência para uma raiz onde há mudança de sinal, isto é, quando $f(a)\,f(b)<0$ e, ao refinar o intervalo, a raiz “capturada” é aquela associada a uma mudança de sinal (raiz de multiplicidade ímpar). Em raízes de multiplicidade par, em geral não há mudança de sinal.

3. Analisando o sinal em $[-3,\,2{,}5]$

Vamos olhar o sinal de $f(x)$ em pontos de teste no intervalo, separando pelos fatores.

• Em $x=-3$:

  • $(x+2)=-1$ (negativo)
  • $(x+1)^k=(-2)^k$ (sinal depende de $k$: é positivo se $k$ é par e negativo se $k$ é ímpar)
  • $(x-1)^3=(-4)^3$ (negativo)
  • $(x-2)=(-5)$ (negativo)

  Produto dos três últimos fatores (exceto $(x+1)^k$): $(-)\cdot(-)\cdot(-)=(-).$ Então $\operatorname{sgn}(f(-3)) = \operatorname{sgn}\big((-)\cdot \operatorname{sgn}((-2)^k)\big).$

  • Se $k$ é par, $(-2)^k>0$ ⇒ $f(-3)<0$.
  • Se $k$ é ímpar, $(-2)^k<0$ ⇒ $f(-3)>0$.

• Em $x=0$ (ponto entre $-1$ e $1$):

  • $(x+2)=2$ (positivo)
  • $(x+1)^k=1^k=1$ (positivo)
  • $(x-1)^3=(-1)^3=-1$ (negativo)
  • $(x-2)=-2$ (negativo)

  Logo, $\operatorname{sgn}(f(0))=(+)\cdot(+)\cdot(-)\cdot(-)=(+).$ Ou seja, $f(0)>0$ independentemente de $k$.

4. Localizando onde necessariamente ocorre mudança de sinal a partir da esquerda

• Se $k$ é par: $f(-3)<0$ e $f(0)>0$. Como a única raiz entre $-3$ e $0$ que certamente pode provocar mudança de sinal é $x=-2$ (raiz simples), conclui-se que existe mudança de sinal atravessando $x=-2$.

• Se $k$ é ímpar: $f(-3)>0$ e $f(0)>0$. Nesse caso, ao atravessar $x=-2$ (raiz simples), o sinal troca (pois multiplicidade 1 é ímpar). Como o sinal em $x=-3$ é positivo, imediatamente à direita de $-2$ ele deve ficar negativo. Depois, ao atravessar $x=-1$ (multiplicidade ímpar, pois $k$ ímpar), o sinal troca de novo e volta a ficar positivo, consistente com $f(0)>0$. Assim, ainda assim há mudança de sinal em $x=-2$.

5. Conclusão sobre a raiz capturada no intervalo inicial $[-3,2{,}5]$

O método começa com o intervalo $[-3,2{,}5]$ e, ao avaliar no ponto médio $m=(-3+2{,}5)/2=-0{,}25$, temos $f(-0{,}25)>0$ (mesma lógica de sinais de $f(0)>0$; para $-0{,}25$ temos $x+2>0$, $x-1<0$, $x-2<0$, e $x+1>0$).

• Se $k$ é par, $f(-3)<0$ e $f(-0{,}25)>0$ ⇒ a bissecção escolhe o subintervalo $[-3, -0{,}25]$, que contém $x=-2$.
• Se $k$ é ímpar, embora $f(-3)>0$, o procedimento de bissecção padrão exige inicialmente $f(a)f(b)<0$ para garantir a raiz; ainda assim, a única raiz “de mudança de sinal” que fica consistentemente selecionada quando se força a aplicação no intervalo amplo (e se vai refinando onde ocorre troca) é a de $x=-2$; as demais dependem da paridade de $k$ em $x=-1$.

Portanto, a raiz para a qual a bissecção converge (a raiz que o processo de mudança de sinal identifica de forma robusta no intervalo dado) é:

Alternativa correta: $x=-2$.