Para que os pontos A( x; 3 ), B( 2x; 0 ) e C( 1; 1 ) sejam colineares, é necessário que x seja:

Para que três pontos sejam colineares, as inclinações (coeficientes angulares) entre dois pares de pontos devem ser iguais.

Pontos: $A(x,3)$, $B(2x,0)$, $C(1,1)$.

1. Coeficiente angular de $\overline{AC}$:

$$m_{AC}=\frac{1-3}{1-x}=\frac{-2}{1-x}.$$

2. Coeficiente angular de $\overline{BC}$:

$$m_{BC}=\frac{1-0}{1-2x}=\frac{1}{1-2x}.$$

3. Igualando (colinearidade):

$$\frac{-2}{1-x}=\frac{1}{1-2x}.$$

Fazendo a multiplicação cruzada:

$$-2(1-2x)=1(1-x)$$ $$-2+4x=1-x$$ $$5x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{5}.$$

(Observação: $1-x\neq 0$ e $1-2x\neq 0$; para $x=\frac{3}{5}$ isso é satisfeito.)