Considere o seguinte problema: Num conjunto de 20 dadores de sangue, dez pertencem ao grupo O, seis ao grupo A, três ao grupo B e um ao grupo AB. Escolheram-se, ao acaso, quatro dadores de entre os 20 considerados. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os quatro dadores, de forma que pelo menos dois deles pertençam ao grupo O? Apresentam-se, de seguida, duas respostas: Resposta I: $\binom{20}{4} - \binom{10}{4}$ Resposta II: $\binom{10}{2}\times\binom{10}{2} + \binom{10}{3}\times\binom{10}{1} + \binom{10}{4}$. Apenas uma das respostas está correta. Elabora uma composição na qual: - identifiques a resposta correta; - expliques um raciocínio que conduza à resposta correta; - proponhas uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta; - expliques, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

1) Qual resposta é a correta?

A correta é a Resposta II.

2) Raciocínio que conduz à resposta correta

Há 20 dadores, sendo 10 do grupo O e 10 não-O (porque 6 são A, 3 são B e 1 é AB, totalizando 10).

Queremos escolher 4 dadores com pelo menos 2 do grupo O. Isso significa que o número de dadores do grupo O no grupo de 4 pode ser:

• exatamente 2 do grupo O;
• exatamente 3 do grupo O;
• exatamente 4 do grupo O.

Contemos caso a caso:

Caso A: exatamente 2 do grupo O

• escolher 2 dos 10 do grupo O: $\binom{10}{2}$;
• escolher os outros 2 dentre os 10 que não são O: $\binom{10}{2}$.

Total: $\binom{10}{2}\binom{10}{2}$.

Caso B: exatamente 3 do grupo O

• escolher 3 dos 10 do grupo O: $\binom{10}{3}$;
• escolher 1 dentre os 10 não-O: $\binom{10}{1}$.

Total: $\binom{10}{3}\binom{10}{1}$.

Caso C: exatamente 4 do grupo O

• escolher 4 dos 10 do grupo O: $\binom{10}{4}$.

Somando os três casos (eventos disjuntos), obtemos: $\binom{10}{2}\binom{10}{2}+\binom{10}{3}\binom{10}{1}+\binom{10}{4},$ que é exatamente a Resposta II.

3) Por que a Resposta I está incorreta?

A Resposta I é: $\binom{20}{4}-\binom{10}{4}.$

• $\binom{20}{4}$ conta todas as formas de escolher 4 dadores dentre 20.
• $\binom{10}{4}$ (com 10 sendo o grupo O) conta as escolhas com 4 do grupo O.

Logo, $\binom{20}{4}-\binom{10}{4}$ conta “todas as escolhas” exceto as que têm os 4 do grupo O. Isso inclui escolhas com 0, 1, 2 ou 3 do grupo O, ou seja, não garante “pelo menos 2 do grupo O”. Portanto, não corresponde ao enunciado.

4) Como alterar a expressão incorreta para torná-la correta?

Uma forma natural de corrigir a Resposta I é usar o complemento certo:

“pelo menos 2 do grupo O” é o complemento de “no máximo 1 do grupo O”.

Então a expressão correta por complemento é: $\binom{20}{4}-\Big(\underbrace{\binom{10}{0}\binom{10}{4}}_{\text{0 do grupo O}}+\underbrace{\binom{10}{1}\binom{10}{3}}_{\text{1 do grupo O}}\Big).$

Razão, no contexto do problema, para essa alteração

• Para excluir os casos que não satisfazem a condição “pelo menos 2 do grupo O”, devemos subtrair exatamente os casos em que há 0 ou 1 dador do grupo O.
• O termo $\binom{10}{0}\binom{10}{4}$ representa escolher 0 do grupo O e 4 dos não-O.
• O termo $\binom{10}{1}\binom{10}{3}$ representa escolher 1 do grupo O e 3 dos não-O.

Assim, ao subtrair esses dois casos de $\binom{20}{4}$, ficam apenas as escolhas com 2, 3 ou 4 dadores do grupo O, exatamente o pedido.

Observação: essa expressão corrigida é equivalente à Resposta II, pois ambas contam o mesmo conjunto de seleções, apenas por métodos diferentes (casos diretos vs. complemento).