Num conjunto de 20 dadores de sangue, dez pertencem ao grupo O, seis ao grupo A e quatro ao grupo B. Escolheram-se, ao acaso, quatro dadores de entre os 20 considerados. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os quatro dadores, de forma que pelo menos dois deles pertençam ao grupo O? Apresentam-se, de seguida, duas respostas. Apenas uma das respostas está correta. Elabora uma composição na qual: - identifiques a resposta correta; - expliques um raciocínio que conduza à resposta correta; - proponhas uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta; - expliques, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

1) Identificação da resposta correta

Queremos contar o número de escolhas de 4 dadores, entre 20, com pelo menos 2 do grupo O (isto é, exatamente 2, ou 3, ou 4 do grupo O).

A Resposta II faz exatamente essa decomposição por casos e, por isso, é a correta.

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2) Raciocínio que conduz à resposta correta (Resposta II)

Há 10 dadores do grupo O e os restantes 10 são não-O (6 do grupo A + 4 do grupo B = 10).

“Pelo menos 2 do grupo O” em 4 escolhidos significa:

• Caso 1: exatamente 2 do grupo O e 2 não-O;
• Caso 2: exatamente 3 do grupo O e 1 não-O;
• Caso 3: exatamente 4 do grupo O e 0 não-O.

Contando cada caso:

• Caso 1: escolher 2 dos 10 do grupo O e 2 dos 10 não-O: $\binom{10}{2}\binom{10}{2}$
• Caso 2: escolher 3 dos 10 do grupo O e 1 dos 10 não-O: $\binom{10}{3}\binom{10}{1}$
• Caso 3: escolher 4 dos 10 do grupo O e 0 dos 10 não-O: $\binom{10}{4}\binom{10}{0}$

Somando (regra da soma, pois são casos mutuamente exclusivos): $\binom{10}{2}\binom{10}{2} + \binom{10}{3}\binom{10}{1} + \binom{10}{4}\binom{10}{0}$ que é exatamente a Resposta II.

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3) Por que a Resposta I está incorreta

A Resposta I é: $\binom{20}{4} - \binom{10}{4}$

• $\binom{20}{4}$ conta todas as escolhas de 4 dadores.
• $\binom{10}{4}$ conta escolhas de 4 dadores todos do grupo O.

Portanto, $\binom{20}{4} - \binom{10}{4}$ conta as escolhas de 4 dadores que não são “4 do grupo O”, ou seja, conta escolhas com 0, 1, 2 ou 3 do grupo O. Mas o problema pede “pelo menos 2 do grupo O” (ou seja, 2, 3 ou 4). Logo, esta subtração não elimina os casos com 0 ou 1 do grupo O, que não deveriam ser contados.

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4) Alteração na expressão incorreta para torná-la correta + justificativa

Uma forma natural de corrigir a ideia de “total menos casos indesejados” é subtrair do total os casos com menos de 2 do grupo O, isto é, os casos com 0 do grupo O ou 1 do grupo O.

• Caso “0 do grupo O”: escolher 4 entre os 10 não-O: $\binom{10}{4}$
• Caso “1 do grupo O”: escolher 1 entre os 10 do grupo O e 3 entre os 10 não-O: $\binom{10}{1}\binom{10}{3}$

Assim, a expressão corrigida fica: $\binom{20}{4}-\left(\binom{10}{4}+\binom{10}{1}\binom{10}{3}\right).$

Razão da alteração (no contexto do problema): Ao subtrairmos do total todas as escolhas com 0 ou 1 dador do grupo O, sobram exatamente as escolhas com 2, 3 ou 4 dadores do grupo O, que são precisamente as escolhas em que “pelo menos dois pertencem ao grupo O”.

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Conclusão: a Resposta II está correta; a Resposta I pode ser tornada correta substituindo $-\binom{10}{4}$ por $-\left(\binom{10}{4}+\binom{10}{1}\binom{10}{3}\right)$.