Em uma reunião todas as pessoas se cumprimentaram duas a duas e ao todo tiveram 10 cumprimentos. Desta forma, é possível determinar a quantidade de pessoas presentes na reunião, que é igual a:

Se havia $n$ pessoas na reunião e todas se cumprimentaram duas a duas, o número total de cumprimentos é o número de pares distintos:

$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$

Dado que houve 10 cumprimentos:

$\frac{n(n-1)}{2} = 10 \Rightarrow n(n-1)=20 \Rightarrow n^2-n-20=0.$

Fatorando:

$n^2-n-20=(n-5)(n+4)=0.$

Como $n>0$, temos $n=5$.