Determine a soma a + b + c de forma a garantir que a função g(x) seja contínua no seu domínio [2, 6].

Para que $g(x)$ seja contínua em todo o domínio $[2,6]$, precisamos garantir continuidade nos pontos de “troca” e nas extremidades incluídas: $x=2$, $x=4$ e $x=6$.

A função é dada por

$$g(x)=\begin{cases} a, & x=2\\ x^{2}-x-2, & 2<x<4\\ bx+4, & 4\le x<6\\ c, & x=6 \end{cases}$$

1) Continuidade em $x=2$ Como $x=2$ pertence ao domínio, deve valer $a=g(2)=\lim_{x\to 2^+}(x^2-x-2).$ Calculando: $\lim_{x\to 2^+}(x^2-x-2)=2^2-2-2=4-2-2=0.$ Logo, $a=0$.

2) Continuidade em $x=4$ Em $x=4$, o valor vem do terceiro ramo (pois $4\le x<6$): $g(4)=4b+4.$ Para continuidade, o limite pela esquerda (do segundo ramo) deve coincidir com $g(4)$: $\lim_{x\to 4^-}(x^2-x-2)=4^2-4-2=16-4-2=10.$ Então: $4b+4=10 \Rightarrow 4b=6 \Rightarrow b=\frac{3}{2}.$

3) Continuidade em $x=6$ Como $x=6$ pertence ao domínio, precisamos que $c=g(6)=\lim_{x\to 6^-}(bx+4).$ Assim: $c=6b+4=6\cdot\frac{3}{2}+4=9+4=13.$

4) Soma $a+b+c$ $a+b+c=0+\frac{3}{2}+13=\frac{3}{2}+\frac{26}{2}=\frac{29}{2}.$

Alternativa correta: (A).