Suponha que a função T(x,y) = ln(x + y). Em que T é a medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, representa uma distribuição de temperatura no plano xy. Calcule a derivada direcional da temperatura no ponto P(1,1) e na direção do vetor unitário (cos(π/6))i + (sen(π/6))j. Qual a direção de maior crescimento da temperatura e a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P(1,1)?

Temos $T(x,y)=\ln(x+y)$. O gradiente é

$$\nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y}\right).$$

Como $\frac{d}{dz}\ln z=\frac{1}{z}$ e $z=x+y$, então

$$\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{1}{x+y},\qquad \frac{\partial T}{\partial y}=\frac{1}{x+y}.$$

Logo,

$$\nabla T(x,y)=\left(\frac{1}{x+y},\frac{1}{x+y}\right).$$

No ponto $P(1,1)$, temos $x+y=2$, então

$$\nabla T(1,1)=\left(\frac12,\frac12\right).$$

A direção dada é o vetor unitário

$$\mathbf{u}=\left(\cos\frac{\pi}{6},\sin\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).$$

A derivada direcional é o produto escalar:

$$D_{\mathbf{u}}T(1,1)=\nabla T(1,1)\cdot \mathbf{u} =\left(\frac12,\frac12\right)\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right) =\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12 =\frac{\sqrt3}{4}+\frac14 =\frac{\sqrt3+1}{4}.$$

Direção de maior crescimento e taxa máxima: A temperatura cresce mais rapidamente na direção do gradiente. Em $P(1,1)$, o gradiente é proporcional a $(1,1)$; como direção unitária, fica

$$\widehat{\nabla T}(1,1)=\frac{\nabla T(1,1)}{\|\nabla T(1,1)\|}.$$

Calculando a norma:

$$\|\nabla T(1,1)\|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac14}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Então a direção unitária de maior crescimento é

$$\widehat{\nabla T}(1,1)=\frac{(\frac12,\frac12)}{\frac{1}{\sqrt2}}=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right).$$

E a taxa máxima de variação em $P(1,1)$ é justamente

$$\max D_{\mathbf{u}}T(1,1)=\|\nabla T(1,1)\|=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Alternativa correta: (sem alternativas).