Considere a função f(x) = log_x a. Sabendo que log_b a = (log_c a) / (log_c b), determine a derivada da função f(x):

Pela mudança de base,

$f(x)=\log_x a=\frac{\log a}{\log x}.$

Usando logaritmo natural (equivalentemente, qualquer base), fica

$f(x)=\frac{\ln a}{\ln x},$

onde $\ln a$ é constante (pois $a$ não depende de $x$).

Derivando:

$f'(x)=\ln a\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right).$

Agora,

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right)= -\frac{1}{(\ln x)^2}\cdot \frac{d}{dx}(\ln x)= -\frac{1}{(\ln x)^2}\cdot \frac{1}{x}.$

Logo,

$f'(x)=\ln a\left(-\frac{1}{x(\ln x)^2}\right)= -\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}.$

(Com as restrições usuais: $x>0$, $x\neq 1$ e $a>0$, $a\neq 1$.)