No estudo de impacto ambiental, um dos aspectos relevantes é avaliar a velocidade de expansão do agente contaminante. Modelos matemáticos são utilizados na avaliação de medidas de mitigação de danos no caso de vazamentos de combustíveis, petróleo ou outros tipos de derramamentos em corpos de água ou no oceano. Nessa modelagem, são utilizadas as mais diferentes funções matemáticas. Considere que, em uma dessas modelagens, foi utilizada a função f(x) = 2x^2 + 5x - 3. Assinale a alternativa que expressa uma das passagens para se determinar o limite para calcular a derivada dessa função em x = 2.

Para calcular a derivada pela definição em um ponto (aqui, em $x=2$), usa-se

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

Primeiro, calculamos $f(x+\Delta x)$:

\begin{align} f(x+\Delta x) &= 2(x+\Delta x)^2 + 5(x+\Delta x) - 3\ &= 2(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)+5x+5\Delta x-3\ &= 2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2+5x+5\Delta x-3. \end{align}

Agora subtraímos $f(x)=2x^2+5x-3$:

\begin{align} f(x+\Delta x)-f(x) &= (2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2+5x+5\Delta x-3) - (2x^2+5x-3)\ &= 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 5\Delta x. \end{align}

Logo, uma passagem correta para o limite da definição é:

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 5\Delta x}{\Delta x},$

que corresponde exatamente à alternativa E.