Calcule a derivada da função f(x) = (x^2 - 1)/x^3

Queremos $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3}$.

1. Reescrevendo em potências: [ f(x)=\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=x^{-1}-x^{-3}. ]

2. Derivando termo a termo (regra da potência $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$): [ f'(x)=(-1)x^{-2}-(-3)x^{-4}=-x^{-2}+3x^{-4}. ]

3. Colocando em uma única fração: [ -x^{-2}+3x^{-4}= -\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}=\frac{-x^2+3}{x^4}. ]

4. Comparando com a alternativa A: [ \frac{-x^2+3}{x^4}=\frac{(-x^2+3)x^2}{x^4,x^2}=\frac{-x^4+3x^2}{x^6}, ] que coincide exatamente com a opção A.

Alternativa correta: (A).