Resolva as seguintes desigualdades

Há um problema de formato: você pediu para “resolver as desigualdades”, mas o campo options traz as próprias desigualdades (a, b, c) — não há alternativas de resposta para eu escolher uma “Alternativa correta”.

Mesmo assim, posso resolver cada item (a), (b) e (c) e te dar os conjuntos-solução. Se você quiser que eu marque uma alternativa correta, envie as alternativas de resposta (por exemplo, intervalos) ou diga se é para “assinalar quais são verdadeiras”, etc.

a) $|x-1| \le |x+1|$

Como ambos lados são não negativos, posso elevar ao quadrado: [ |x-1|^2 \le |x+1|^2 \iff (x-1)^2 \le (x+1)^2. ] Expandindo: [ x^2-2x+1 \le x^2+2x+1 \iff -2x \le 2x \iff 0 \le 4x \iff x\ge 0. ] Solução (a): $[0,\infty)$.

b) $|x| - |x-1| < x$

Vamos analisar por intervalos onde os módulos mudam: $x=0$ e $x=1$.

1) Se $x\ge 1$

$|x|=x$ e $|x-1|=x-1$: [ |x|-|x-1|<x \iff x-(x-1)<x \iff 1<x. ] Então, nesse caso: $x>1$.

2) Se $0\le x<1$

$|x|=x$ e $|x-1|=1-x$: [ x-(1-x)<x \iff 2x-1<x \iff x<1. ] Isso é verdadeiro para todo $x$ em $[0,1)$.

3) Se $x<0$

$|x|=-x$ e $|x-1|=1-x$: [ (-x)-(1-x)<x \iff -1<x. ] Com a condição $x<0$, fica $-1<x<0$.

Unindo tudo: Solução (b): $(-1,0)\cup[0,1)\cup(1,\infty)=(-1,1)\cup(1,\infty)=\mathbb{R}\setminus\{-1\text{? não},1\}$. Atenção: $x=-1$ não entra porque a desigualdade é estrita e daria igualdade? Vamos checar:

• Em $x=-1$: $|{-1}|-|{-2}|=1-2=-1$ e $x=-1$; fica $-1<-1$ (falso). Então $-1$ não pertence mesmo.
• Em $x=1$: $|1|-|0|=1-0=1$ e $x=1$; fica $1<1$ (falso). Então $1$ não pertence. Logo: Solução (b): $(-1,1)\cup(1,\infty)$.

c) $|x-1|+|x-2|\le 3$

Pontos de quebra: $x=1$ e $x=2$.

1) Se $x\le 1$

$|x-1|=1-x$ e $|x-2|=2-x$: [ (1-x)+(2-x)\le 3 \iff 3-2x\le 3 \iff -2x\le 0 \iff x\ge 0. ] Com $x\le 1$, resulta: $0\le x\le 1$.

2) Se $1\le x\le 2$

$|x-1|=x-1$ e $|x-2|=2-x$: [ (x-1)+(2-x)\le 3 \iff 1\le 3 ] Verdadeiro para todo o intervalo. Então: $1\le x\le 2$.

3) Se $x\ge 2$

$|x-1|=x-1$ e $|x-2|=x-2$: [ (x-1)+(x-2)\le 3 \iff 2x-3\le 3 \iff 2x\le 6 \iff x\le 3. ] Com $x\ge 2$, resulta: $2\le x\le 3$.

Unindo: Solução (c): $[0,3]$.

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Se você me enviar as alternativas de resposta (intervalos), eu marco a “Alternativa correta” no formato que a prova pede.

Alternativa correta: (a).