Duas circunferências tangenciam uma reta r nos...

Questão

Duas circunferências tangenciam uma reta r nos pontos P e Q. A distância entre os centros A e B dessas circunferências é de 51 dm, e seus raios medem, respectivamente, 6 dm e 30 dm. Sabendo que as circunferências estão em um mesmo semiplano determinado pela reta r, calcule a distância entre os pontos P e Q.

Imagem 1

Diagrama (descrição): duas circunferências tangenciam a reta r por baixo nos pontos P e Q; A é o centro da circunferência menor (raio 6 dm) e B é o centro da circunferência maior (raio 30 dm); a distância entre os centros A e B é 51 dm. As perpendiculares dos centros à reta r encontram a reta nos pontos P e Q, respectivamente.

Imagem 2

Representação matemática (associação usada no diagrama):

Notação: r1 = 6, r2 = 30, AB = 51, PQ = ?
Relação geométrica usada no diagrama (triângulo retângulo entre A, B e projeções sobre a reta):

$AB^2 = PQ^2 + (r_2 - r_1)^2$

Aplicando os valores:

$51^2 = PQ^2 + (30 - 6)^2$

ou seja

$2601 = PQ^2 + 24^2.$

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