Duas circunferências tangenciam uma reta r nos pontos P e Q. A distância entre os centros A e B dessas circunferências é de 51 dm, e seus raios medem, respectivamente, 6 dm e 30 dm. Sabendo que as circunferências estão em um mesmo semiplano determinado pela reta r, calcule a distância entre os pontos P e Q.

Como as circunferências estão no mesmo semiplano em relação à reta $r$ e são tangentes a $r$ em $P$ e $Q$, os centros $A$ e $B$ ficam a distâncias perpendiculares $r_1$ e $r_2$ da reta.

Assim, ao projetarmos $A$ e $B$ ortogonalmente em $r$, obtemos um triângulo retângulo em que:

• a hipotenusa é $AB=51$,
• um cateto é a diferença das alturas em relação a $r$, isto é, $r_2-r_1=30-6=24$,
• o outro cateto é a distância procurada $PQ$.

Portanto, $AB^2 = PQ^2 + (r_2-r_1)^2$ $51^2 = PQ^2 + 24^2$ $2601 = PQ^2 + 576$ $PQ^2 = 2601 - 576 = 2025$ $PQ = \sqrt{2025} = 45.$

Logo, a distância entre os pontos de tangência é $\boxed{45\text{ dm}}$.