Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existir apenas um y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f. As seguintes notações são utilizadas: f: A → B (lê-se: f de A em B) x → y = f(x) (para cada x há um valor f(x) associado) Sobre as funções abaixo, encontre o domínio e faça as suas representações gráficas, considerando o intervalo [-10, 10]. Atenção: a representação gráfica poderá ser feita à mão em papel quadriculado ou utilizando o software GeoGebra. a) $f(x)=\dfrac{x}{x-5}$ b) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$ c) $h(x)=x^{2}+3x-1$ d) $i(x)=4x-7$ Orientações para trabalhos feitos pelo GeoGebra: - Identificar o gráfico, apresentando a função e o domínio; - Identificação do aluno em cada folha (nome e ID); - Exportar o gráfico como imagem ou fazer captura de tela (print); - Serão aceitos apenas trabalhos nos seguintes formatos: .png, .jpg, .jpeg, .pdf, .doc.

a) $f(x)=\dfrac{x}{x-5}$

Domínio: como o denominador não pode ser zero, $x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5$.

• $D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.
• No intervalo pedido: $D_f\cap[-10,10]=[-10,5)\cup(5,10]$.

Como desenhar o gráfico em $[-10,10]$ (características essenciais):

1. Reescreva:

$$\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}.$$

2. Assíntotas:

• vertical: $x=5$ (onde a função “explode”);
• horizontal: $y=1$ (quando $x\to\pm\infty$).

3. Pontos para plotar (exemplos dentro de $[-10,10]$):

• $x=0\Rightarrow f(0)=0$ (passa pela origem);
• $x=4\Rightarrow f(4)=\frac{4}{-1}=-4$;
• $x=6\Rightarrow f(6)=\frac{6}{1}=6$;
• $x=10\Rightarrow f(10)=\frac{10}{5}=2$;
• $x=-10\Rightarrow f(-10)=\frac{-10}{-15}=\frac{2}{3}$.

4. Comportamento perto de $x=5$:

• se $x\to 5^{-}$, então $x-5\to 0^{-}$ e $\frac{5}{x-5}\to -\infty$, logo $f(x)\to -\infty$;
• se $x\to 5^{+}$, então $x-5\to 0^{+}$ e $\frac{5}{x-5}\to +\infty$, logo $f(x)\to +\infty$.

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b) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$

Domínio: é função linear (não há restrição de denominador variável, raiz, log etc.).

• $D_g=\mathbb{R}$.
• No intervalo pedido: $[-10,10]$.

Gráfico (reta):

$$g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$$

• coeficiente angular (inclinação): $m=\frac{1}{2}$;
• intercepto em $y$: $g(0)=-\frac{3}{2}$.

Pontos para plotar:

• $x=0\Rightarrow g(0)=-1{,}5$;
• $x=3\Rightarrow g(3)=0$ (corta o eixo $x$ em $x=3$);
• $x=-10\Rightarrow g(-10)=\frac{-13}{2}=-6{,}5$;
• $x=10\Rightarrow g(10)=\frac{7}{2}=3{,}5$.

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c) $h(x)=x^{2}+3x-1$

Domínio: polinômio → definido para todo real.

• $D_h=\mathbb{R}$.
• No intervalo pedido: $[-10,10]$.

Gráfico (parábola): como $a=1>0$, a parábola é côncava para cima.

Vértice:

• $x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2}$.
• $y_v=h\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(-\frac{3}{2}\right)-1= \frac{9}{4}-\frac{9}{2}-1= \frac{9-18-4}{4}=-\frac{13}{4}=-3{,}25.$

Logo, vértice: $V\left(-\frac{3}{2},-\frac{13}{4}\right)$.

Intercepto em $y$:

• $h(0)=-1$.

Raízes (interseções com eixo $x$): resolva $x^2+3x-1=0$:

$$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot(-1)=9+4=13.$$ $$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$

Aproximações: $\sqrt{13}\approx 3{,}606$:

• $x_1\approx\frac{-3-3{,}606}{2}\approx -3{,}303$;
• $x_2\approx\frac{-3+3{,}606}{2}\approx 0{,}303$.

Pontos extras para ajudar no desenho:

• $x=-3\Rightarrow h(-3)=9-9-1=-1$;
• $x=1\Rightarrow h(1)=1+3-1=3$.

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d) $i(x)=4x-7$

Domínio: linear → sem restrições.

• $D_i=\mathbb{R}$.
• No intervalo pedido: $[-10,10]$.

Gráfico (reta):

• coeficiente angular: $m=4$;
• intercepto em $y$: $i(0)=-7$.

Pontos para plotar:

• $x=0\Rightarrow i(0)=-7$;
• raiz: $4x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{4}=1{,}75$;
• $x=-10\Rightarrow i(-10)=-40-7=-47$;
• $x=10\Rightarrow i(10)=40-7=33$.

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Sugestão prática (GeoGebra):

1. Digite cada função na barra de entrada: f(x)=x/(x-5), g(x)=(x-3)/2, h(x)=x^2+3x-1, i(x)=4x-7.
2. Ajuste a janela para $x\in[-10,10]$ (e um intervalo de $y$ que mostre bem o gráfico; no caso de $f$, haverá “explosão” perto de $x=5$).
3. Exiba o domínio no seu relatório (principalmente em (a), onde $x\neq 5$).

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