Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial x e^{-y} sen(x) dx - y dy = 0, calcule a solução para a equação diferencial. (Dica: multiplicar todos os termos por e^{y})

Dada a EDO:

$x e^{-y}\,\sen(x)\,dx - y\,dy = 0.$

Usando a dica, multiplicamos toda a equação por $e^{y}$:

$x\,\sen(x)\,dx - y e^{y}\,dy = 0.$

Agora separamos (levando um termo para o outro lado):

$x\,\sen(x)\,dx = y e^{y}\,dy.$

Integramos ambos os lados:

\n1) Lado esquerdo

$\int x\,\sen(x)\,dx.$

Por partes: tome $u=x \Rightarrow du=dx$ e $dv=\sen(x)dx \Rightarrow v=-\cos(x)$.

Então:

$\int x\,\sen(x)\,dx = uv - \int v\,du = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx$ $= -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sen x.$

\n2) Lado direito

$\int y e^{y}\,dy.$

Também por partes: $u=y\Rightarrow du=dy$ e $dv=e^y dy\Rightarrow v=e^y$.

$\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y}.$

Juntando as integrais e colocando a constante de integração $c$:

$-x\cos x + \sen x = y e^{y} - e^{y} + c.$

Isso corresponde à alternativa A.