Pode-se afirmar que a propriedade de fecho consiste em um conjunto de operações sobre as linguagens regulares que produzem uma nova linguagem também regular. Essas operações têm como intuito possibilitar a união, a interseção, a concatenação, entre outras operações sobre as linguagens regulares. Visto isso, considere as operações de união e concatenação. Assim, dadas as linguagens L1 = {a, aaa, b}, L2 = {bb, c} e L3 = {aa, cc, d} sobre o ∑ = {a, b, c, d}, informe qual é a linguagem obtida por L4 = ( L1 ∪ L2).L3 . Selecione a resposta:

Temos:

• $L_1 = \{a, aaa, b\}$
• $L_2 = \{bb, c\}$
• $L_3 = \{aa, cc, d\}$

1. Primeiro fazemos a união:

$$L_1 \cup L_2 = \{a, aaa, b, bb, c\}.$$

2. Agora fazemos a concatenação com $L_3$:

$$L_4 = (L_1 \cup L_2)\cdot L_3 = \{xy \mid x\in (L_1\cup L_2),\ y\in L_3\}.$$

Concatenando cada elemento de $\{a, aaa, b, bb, c\}$ com cada elemento de $\{aa, cc, d\}$:

• Para $x=a$:

  • $a\cdot aa = aaa$
  • $a\cdot cc = acc$
  • $a\cdot d = ad$

• Para $x=aaa$:

  • $aaa\cdot aa = aaaaa$
  • $aaa\cdot cc = aaacc$
  • $aaa\cdot d = aaad$

• Para $x=b$:

  • $b\cdot aa = baa$
  • $b\cdot cc = bcc$
  • $b\cdot d = bd$

• Para $x=bb$:

  • $bb\cdot aa = bbaa$
  • $bb\cdot cc = bbcc$
  • $bb\cdot d = bbd$

• Para $x=c$:

  • $c\cdot aa = caa$
  • $c\cdot cc = ccc$
  • $c\cdot d = cd$

Logo,

$$L_4 = \{aaa, acc, ad, aaaaa, aaacc, aaad, baa, bcc, bd, bbaa, bbcc, bbd, caa, ccc, cd\}.$$