Constatou-se num laboratório que uma colônia de certo tipo de bactéria triplicava a população a cada meia hora. No instante em que começaram os estudos, o número de bactérias na amostra era estimado em 10 mil. a) No caderno, represente numa tabela a população de bactérias, em milhares, nos instantes (a partir do início da contagem) 0,5 hora, 1 hora, 1,5 hora, 2 horas, 3 horas e 5 horas. b) Obtenha em seu caderno a lei que relaciona o número (n) de milhares de bactérias em função da medida de intervalo de tempo (t), em horas. c) Determine no caderno o domínio e a imagem da função que relaciona o número (n) de bactérias a medida de intervalo de tempo (t). Essa função é crescente ou decrescente?

a) Tabela (população em milhares):

• $t=0{,}5$ h → $n=30$
• $t=1$ h → $n=90$
• $t=1{,}5$ h → $n=270$
• $t=2$ h → $n=810$
• $t=3$ h → $n=7290$
• $t=5$ h → $n=590490$

b) Lei da função (n em milhares, t em horas):

Como a população triplica a cada $0{,}5$ hora, em $t$ horas ocorrem $\dfrac{t}{0{,}5}=2t$ “meias-horas”. Logo,

$n(t)=10\cdot 3^{2t}$

(Se quisesse o número de bactérias, sem ser em milhares: $N(t)=10000\cdot 3^{2t}$.)

c) Domínio, imagem e crescimento:

• Domínio: como $t$ mede tempo a partir do início da contagem, $D=\{t\in\mathbb{R}\mid t\ge 0\}$.
• Imagem: para $t\ge 0$, temos $3^{2t}\ge 1$, então $n(t)=10\cdot 3^{2t} \ge 10.$ Assim, a imagem é $\operatorname{Im}=\{n\in\mathbb{R}\mid n\ge 10\}=[10,+\infty)$ (em milhares).
• Crescente ou decrescente: como a base $3>1$, a função exponencial $3^{2t}$ aumenta quando $t$ aumenta. Portanto, a função é crescente.

(Observação: se o tempo fosse considerado em todos os reais, o domínio seria $\mathbb{R}$ e a imagem seria $(0,+\infty)$; mas pelo enunciado, faz sentido usar $t\ge 0$.)