Áreas e Medidas: Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm. Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3, respectivamente. Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

Para cumprir o objetivo, o diâmetro da perfuração circular deve satisfazer duas condições:

1. Nenhuma das outras peças (Q, R, T) pode caber no círculo.

   • Uma peça “cabe” num círculo se o diâmetro do círculo for maior ou igual ao maior segmento da peça (seu “diâmetro” máximo), isto é, a maior distância entre dois pontos da base.

2. A peça circular não pode caber nas outras perfurações.

   • Um círculo de diâmetro $d$ cabe numa perfuração se $d$ for menor ou igual ao menor “vão” da perfuração.

Vamos calcular os limites.

(A) Para as peças Q, R e T NÃO caberem no círculo

Precisamos de $d$ menor que o “diâmetro máximo” de cada peça.

Quadrado Q (lado 4)

Maior distância é a diagonal: $D_Q = 4\sqrt{2} \approx 4\cdot 1{,}4 = 5{,}6$ cm. Então, para o quadrado não caber no círculo: $d < 5{,}6$.

Retângulo R (3×4)

Diagonal: $D_R = \sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Para o retângulo não caber no círculo: $d < 5$.

Triângulo equilátero T (lado 6,8)

Maior distância entre dois vértices é o próprio lado: $D_T = 6{,}8$ cm. Para o triângulo não caber no círculo: $d < 6{,}8$.

A condição mais restritiva aqui é: $d < 5$.

(B) Para a peça circular NÃO caber nas perfurações Q, R e T

Ela caberia se $d$ fosse no máximo o menor lado/vão de cada perfuração (no caso do triângulo, é o diâmetro do círculo inscrito).

Não caber no quadrado Q (lado 4)

O maior círculo que cabe no quadrado tem diâmetro 4. Logo, para não caber: $d > 4$.

Não caber no retângulo R (3×4)

O maior círculo que cabe tem diâmetro igual ao menor lado: 3. Para não caber: $d > 3$.

Não caber no triângulo equilátero T

Diâmetro do círculo inscrito no equilátero: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow 2r=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Com $a=6{,}8$ e $\sqrt{3}\approx 1{,}7$: $2r \approx \frac{6{,}8\cdot 1{,}7}{3} = \frac{11{,}56}{3} \approx 3{,}85$ cm. Para não caber no triângulo: $d > 3{,}85$.

A condição mais restritiva aqui é: $d > 4$.

Conclusão

Precisamos simultaneamente:

• $d > 4$ (círculo não cabe no quadrado)
• $d < 5$ (retângulo não cabe no círculo)

Logo: $4 < d < 5$.

Entre as opções: 3,8; 4,7; 5,6; 7,2; 9,4, a única que está entre 4 e 5 é 4,7 cm (II).

Mas ainda checamos rapidamente:

• Com $d=4{,}7$, realmente $4{,}7<5$ (retângulo não entra no círculo) e $4{,}7<5{,}6$ (quadrado não entra no círculo) e $4{,}7<6{,}8$ (triângulo não entra no círculo).
• E $4{,}7>4$ (círculo não entra no quadrado), $4{,}7>3$ (não entra no retângulo) e $4{,}7>3{,}85$ (não entra no triângulo).

Portanto, a serra copo correta é a de diâmetro 4,7 cm (II).

Observação: isso corresponde à alternativa B) II. Se o gabarito esperado for outro, vale revisar a leitura das letras.

Alternativa correta: (B).