Cálculo Integral: Você é engenheiro de processos em uma indústria química e precisa projetar um reservatório especial para armazenar um fluido reagente. O reservatório terá o formato de um sólido de revolução obtido pela rotação da curva em torno do eixo x y = √x, 0 ≤ x ≤ 4. Explique a importância do cálculo de volumes por integração em projetos industriais. Em seguida: - Monte a integral definida que representa o volume do reservatório. - Resolva a integral utilizando os métodos de Cálculo Integral II. - Apresente o valor final do volume com três casas decimais de precisão.

1) Importância do cálculo de volumes por integração em projetos industriais

Em projetos industriais (como tanques, reatores e reservatórios), o cálculo de volumes por integração é essencial porque:

• Permite dimensionar corretamente a capacidade quando o formato não é um cilindro/prisma simples.
• Evita superdimensionamento (custo maior de material, espaço e energia) e subdimensionamento (risco operacional, transbordo, falta de autonomia).
• Ajuda na segurança e na conformidade: volume influencia tempo de residência, inventário de reagente, alívio de pressão, e cenários de risco.
• Apoia o controle de processo: conhecimento preciso do volume é base para balanços de massa, calibração de nível vs. volume, e dosagens.

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2) Montagem da integral definida do volume

A curva é $y=\sqrt{x}$, no intervalo $0\le x\le 4$, girada em torno do eixo $x$.

Pelo método dos discos (ou anéis), o raio do disco é $r(x)=y=\sqrt{x}$.

Então, a área da seção transversal é: $A(x)=\pi\,r(x)^2=\pi(\sqrt{x})^2=\pi x.$

Logo, o volume é: $V=\int_0^4 A(x)\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx.$

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3) Cálculo da integral (Cálculo Integral II)

=\pi\left(\frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right) =\pi\cdot\frac{16}{2} =8\pi.$$ Valor numérico (3 casas decimais): $$V=8\pi\approx 8\cdot 3{,}14159265\approx 25{,}133.$$ **Volume final:** $\boxed{V\approx 25{,}133}$ unidades cúbicas. Alternativa correta: (não há opções).