Distâncias e Projeções: A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é o vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo contido em α. Se P dista 2√3 m da hipotenusa desse triângulo e 2 m do plano α, determine a altura relativa à hipotenusa.

Seja $H$ a projeção ortogonal de $P$ no plano $\alpha$. Então:

• $PH$ é perpendicular a $\alpha$ e $PH = 2$ m (distância de $P$ ao plano).
• No plano $\alpha$, considere a hipotenusa $r$ do triângulo retângulo. A distância de $P$ à reta $r$ é $2\sqrt{3}$ m.

A menor distância de $P$ à reta $r$ pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares:

1. a componente perpendicular ao plano: $PH = 2$;
2. a componente no próprio plano, que é a distância de $H$ à reta $r$ (pois $H$ está em $\alpha$ e a projeção de $P$ em $\alpha$ “remove” a componente fora do plano).

Assim, se chamarmos $d = \operatorname{dist}(H, r)$, como $PH \perp \alpha$ e $d$ está em $\alpha$, temos um triângulo retângulo com [ (\operatorname{dist}(P,r))^2 = PH^2 + d^2. ] Logo, [ (2\sqrt{3})^2 = 2^2 + d^2 \Rightarrow 12 = 4 + d^2 \Rightarrow d^2 = 8 \Rightarrow d = 2\sqrt{2}. ]

Como o triângulo retângulo está contido em $\alpha$ e $H$ é o vértice do ângulo reto, a altura relativa à hipotenusa é exatamente a distância do vértice reto à hipotenusa, isto é, $d$.

Portanto, a altura relativa à hipotenusa vale $2\sqrt{2}$ m.