Seja f: R → R definida por f(x) = (ver Fórmula 1). O conjunto imagem de f é dado por:

A função é definida por partes:

1. Se $x\le -1$: [ f(x)=-x-1. ] Como $-x-1$ é linear e, quando $x=-1$, $f(-1)= -(-1)-1=0$. Se $x\to -\infty$, então $-x-1\to +\infty$. Logo, nessa parte a imagem é [ [0,+\infty[. ]

2. Se $-1<x<1$: [ f(x)=-x^2+1. ] É uma parábola voltada para baixo, com máximo em $x=0$, dando $f(0)=1$. Quando $x\to 1^-$ ou $x\to (-1)^+$, temos $f(x)\to 0$, mas sem atingir 0 porque o intervalo é aberto em $\pm 1$. Assim, a imagem nessa parte é [ ]0,1]. ]

3. Se $x\ge 1$: [ f(x)=x-1. ] Quando $x=1$, $f(1)=0$. E quando $x\to +\infty$, $x-1\to +\infty$. Logo, a imagem nessa parte é [ [0,+\infty[. ]

Imagem total (união das três partes): [ [0,+\infty[ \cup ]0,1] \cup [0,+\infty[ = [0,+\infty[. ] Portanto, o conjunto imagem é $[0,+\infty[$.

Alternativa correta: (C).