Foi pesquisado nas lojas A, B e C qual produto foi mais vendido para o Dia das Crianças e constatou-se que o produto mais vendido para esta data festiva foi a “Bicicleta”. Considerando o mesmo produto, as mesmas especificações e marca, a loja A vendeu 50 bicicletas no total, a loja B vendeu 45 bicicletas no total e a loja C vendeu 40 bicicletas no total. No entanto, o preço variou bastante. Sabe-se que as lojas A e B venderam dez bicicletas pelo mesmo preço. As lojas A e C venderam seis bicicletas pelo mesmo preço e as lojas B e C venderam cinco bicicletas pelo mesmo preço, sendo que, destas, quatro também tinham o mesmo preço na loja A. Dessa forma, podemos afirmar que o total de bicicletas vendidas com preço diferenciado pelas lojas A, B e C foi de:

Vamos interpretar o enunciado como conjuntos de bicicletas vendidas com o mesmo preço entre as lojas.

Defina:

• $A$: bicicletas vendidas na loja A (50)
• $B$: bicicletas vendidas na loja B (45)
• $C$: bicicletas vendidas na loja C (40)

Interseções (mesmo preço entre lojas):

• $|A\cap B| = 10$
• $|A\cap C| = 6$
• $|B\cap C| = 5$

Atenção ao detalhe: “das cinco (entre B e C), quatro também tinham o mesmo preço na loja A”. Isso significa que:

• $|A\cap B\cap C| = 4$ (quatro bicicletas com o mesmo preço nas três lojas).

Logo, as partes “apenas em duas lojas” são:

• Apenas $A\cap B$ (não em C): $10 - 4 = 6$
• Apenas $A\cap C$ (não em B): $6 - 4 = 2$
• Apenas $B\cap C$ (não em A): $5 - 4 = 1$

Agora, o total de bicicletas que tiveram alguma coincidência de preço entre pelo menos duas lojas é dado por inclusão-exclusão: $|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|$ $= 50+45+40 -10-6-5 +4 = 118$

Esse $118$ representa bicicletas que não tiveram preço totalmente diferenciado, ou seja, entram em algum grupo com preço igual em pelo menos duas lojas.

O total geral de bicicletas vendidas somando as três lojas é: $50+45+40 = 135$

Portanto, as bicicletas vendidas com preço diferenciado (sem coincidir com preço de outra loja) são: $135 - 118 = 17$

Mas a pergunta pede o total de bicicletas vendidas com preço diferenciado pelas lojas A, B e C, isto é, o total que não ficou com preço igual em pelo menos duas lojas dentro do conjunto total vendido (contagem por loja). Isso é exatamente: $135 - (\text{quantidade com coincidência entre lojas})$

Como a quantidade com coincidência entre lojas (pelo menos duas lojas) corresponde às interseções contadas por loja:

• Coincidência $A\cap B$: 10 bicicletas (contam em A e em B) → 20 na soma por lojas
• Coincidência $A\cap C$: 6 → 12 na soma por lojas
• Coincidência $B\cap C$: 5 → 10 na soma por lojas
• Mas as 4 do triple foram contadas 3 vezes nas somas acima (em AB, AC, BC), e precisam ser ajustadas para refletir a contagem correta por loja.

Contagem por loja das bicicletas que NÃO têm preço diferenciado (isto é, que coincidem com outra loja):

• Em A: $|A\cap B| + |A\cap C| - |A\cap B\cap C| = 10+6-4=12$
• Em B: $|A\cap B| + |B\cap C| - |A\cap B\cap C| = 10+5-4=11$
• Em C: $|A\cap C| + |B\cap C| - |A\cap B\cap C| = 6+5-4=7$

Total (por loja) com coincidência de preço: $12+11+7 = 30$

Logo, o total (por loja) com preço diferenciado é: $135 - 30 = 105$