Considere a integral dupla \(\displaystyle\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x} (x + 2y)\,dy\,dx\). Essa integral representa uma soma acumulada sobre uma região triangular R. Determine o valor da integral, apresentando os cálculos necessários e justificando sua resposta.

A integral dada é

$$\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x} (x+2y)\,dy\,dx,$$

onde a região é triangular: $0\le x\le 3$ e, para cada $x$, $0\le y\le 3-x$.

1) Integração interna (em $y$):

$$\int_{0}^{3-x} (x+2y)\,dy =\int_{0}^{3-x} x\,dy+\int_{0}^{3-x}2y\,dy.$$

Calculando:

• $\int_{0}^{3-x} x\,dy = x\,y\Big|_{0}^{3-x}=x(3-x)$.
• $\int_{0}^{3-x}2y\,dy = y^2\Big|_{0}^{3-x}=(3-x)^2$.

Logo, a integral interna vale:

$$x(3-x)+(3-x)^2.$$

Simplificando:

$$x(3-x)+(3-x)^2=(3-x)\big(x+(3-x)\big)=(3-x)\cdot 3=3(3-x).$$

2) Integração externa (em $x$):

$$\int_{0}^{3} 3(3-x)\,dx = 3\int_{0}^{3}(3-x)\,dx.$$

E

$$\int_{0}^{3}(3-x)\,dx = \Big(3x-\frac{x^2}{2}\Big)\Big|_{0}^{3} =\left(9-\frac{9}{2}\right)-0=\frac{9}{2}.$$

Multiplicando por 3:

$$3\cdot \frac{9}{2}=\frac{27}{2}.$$

Portanto, o valor da integral é $\boxed{\frac{27}{2}}$.