Use a regra de L'Hôpital e determine o limite \(\displaystyle \lim_{x\to\tfrac{1}{2}} \frac{6x^2+5x-4}{4x^2+16x-9}\).

Queremos calcular

$$\lim_{x\to\tfrac{1}{2}} \frac{6x^2+5x-4}{4x^2+16x-9}.$$

1. Verificando a forma indeterminada:

• Numerador em $x=\tfrac{1}{2}$:

$$6\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\tfrac{1}{2}\right) - 4 = 6\cdot\tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{2} - 4 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{5}{2} - 4 = 4 - 4 = 0.$$

• Denominador em $x=\tfrac{1}{2}$:

$$4\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 16\left(\tfrac{1}{2}\right) - 9 = 4\cdot\tfrac{1}{4} + 8 - 9 = 1 + 8 - 9 = 0.$$

Logo, temos a forma indeterminada $\frac{0}{0}$ e podemos aplicar L'Hôpital.

2. Aplicando a regra de L'Hôpital (derivando numerador e denominador):

• Derivada do numerador: $(6x^2+5x-4)' = 12x+5$.
• Derivada do denominador: $(4x^2+16x-9)' = 8x+16$.

Assim,

$$\lim_{x\to\tfrac{1}{2}} \frac{6x^2+5x-4}{4x^2+16x-9} = \lim_{x\to\tfrac{1}{2}} \frac{12x+5}{8x+16}.$$

3. Substituindo $x=\tfrac{1}{2}$ (agora não há indeterminação):

$$\frac{12\cdot\tfrac{1}{2}+5}{8\cdot\tfrac{1}{2}+16}= \frac{6+5}{4+16}= \frac{11}{20}.$$