Seja f: R → R, definida f(x) = { 3x + 3, x ≤ 0; x^2 + 4x + 3, x > 0 }. Podemos afirmar que:

Vamos analisar a função por partes.

1) Imagem de cada trecho

(i) Para $x\le 0$: $f(x)=3x+3$. É uma reta crescente (coeficiente 3).

• $f(0)=3$.
• Quando $x\to -\infty$, $3x+3\to -\infty$. Logo, a imagem desse trecho é $(-\infty,3].$ Além disso, nesse trecho a função é injetora (reta com coeficiente angular não nulo).

(ii) Para $x>0$: $f(x)=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$. É uma parábola voltada para cima. O vértice está em $x=-2$ (fora do domínio $x>0$). Para $x>0$ a função é estritamente crescente, pois $f'(x)=2x+4>0\quad (x>0).$

• O valor “de entrada” em $0$ não pertence a esse trecho, mas o limite quando $x\to 0^+$ é $f(0^+)=3$.
• Para $x>0$, temos $x^2+4x>0$, então $f(x)=x^2+4x+3>3$. Logo, a imagem desse trecho é $(3,\infty).$ E, como é estritamente crescente em $(0,\infty)$, também é injetora nesse trecho.

2) Sobrejetividade (atinge todo $\mathbb{R}$?) A imagem total é a união: $(-\infty,3] \cup (3,\infty)=\mathbb{R}.$ Portanto, $f$ é sobrejetora.

3) Injetividade (valores repetidos?)

• No trecho $x\le 0$, ela é injetora.
• No trecho $x>0$, ela é injetora.
• Falta checar se algum valor de $(-\infty,3]$ coincide com algum valor de $(3,\infty)$: isso é impossível, pois os conjuntos são disjuntos.
• O valor 3 é atingido no primeiro trecho (em $x=0$) e não é atingido no segundo (lá é sempre $>3$).

Logo, $f$ é injetora.

Como é injetora e sobrejetora, $f$ é bijetora.

4) Verificando a afirmação sobre a inversa Para encontrar $f^{-1}(3)$, resolvemos $f(x)=3$.

• Se $x\le 0$: $3x+3=3 \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$ (válido, pois $0\le 0$).
• Se $x>0$: $x^2+4x+3=3 \Rightarrow x^2+4x=0 \Rightarrow x(x+4)=0$; isso dá $x=0$ ou $x=-4$, mas nenhum é permitido em $x>0$.

Portanto, $f^{-1}(3)=0.$

Assim, a alternativa correta é a que diz que $f$ é bijetora e $f^{-1}(3)=0$.