Resolva: Calcule o volume V dado por V = \(\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{6}(4 - x^{2})\,dy\,dx\).

A integral dada é

$$V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{6}(4-x^{2})\,dy\,dx.$$

1. Integramos primeiro em relação a $y$. Como $(4-x^2)$ não depende de $y$:

$$\int_{0}^{6}(4-x^{2})\,dy=(4-x^{2})\int_{0}^{6}dy=(4-x^{2})\cdot 6=6(4-x^{2}).$$

2. Agora integramos em relação a $x$:

$$V=\int_{0}^{2}6(4-x^{2})\,dx=6\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx.$$

3. Calculando a integral:

$$\int(4-x^{2})dx=4x-\frac{x^{3}}{3}.$$

Avaliando de $0$ a $2$:

$$\left(4x-\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{2}=\left(8-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{16}{3}.$$

4. Multiplicando por 6:

$$V=6\cdot\frac{16}{3}=32.$$