Calcule a seguinte integral indefinida \(\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}\,dx\)
Questão
Calcule a seguinte integral indefinida (\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2},dx)
Imagem 1
(\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2},dx)
Alternativas
A) (\dfrac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+C)
B) (\dfrac{x^3}{3}\sqrt[3]{x}+C)
C) (\dfrac{x^3}{3}+\sqrt[3]{x}+C)
D) (x-\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x}+C)
Explicação
Reescrevendo o integrando em forma de potência:
[ \sqrt[3]{x^2} = (x^2)^{1/3} = x^{2/3}. ]
Aplicando a regra da potência para integrais, (\int x^a,dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C) (com (a\neq -1)):
[ \int x^{2/3},dx = \frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}+C = \frac{x^{5/3}}{5/3}+C = \frac{3}{5}x^{5/3}+C. ]
Voltando para a forma de radical:
[ \frac{3}{5}x^{5/3} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}. ]
Alternativa correta: (A).
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