Provar a monotonia da sucessão: a) a_n = 1/n.

Questão

Provar a monotonia da sucessão: a) a_n = 1/n.

Resposta

99%

A sucessão an=1na_n=\frac{1}{n} é estritamente decrescente para n≥1n\ge 1.

Explicação

Para provar monotonia, comparamos termos consecutivos.

Para n≥1n\ge 1, an+1=1n+1.a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. Como n+1>n>0n+1>n>0, ao inverter (o que preserva a desigualdade por serem positivos), obtemos 1n+1<1n.\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. Logo, an+1<anpara todo n≥1,a_{n+1}<a_n\quad \text{para todo } n\ge 1, o que mostra que (an)(a_n) é estritamente decrescente (portanto, monotônica decrescente).

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