Considere a sucessão definida por \(a_n=\frac{2n+1}{n+2}\). Prove a monotonia da sucessão.

Para provar a monotonia, basta analisar o sinal de $a_{n+1}-a_n$.

Temos $a_n=\frac{2n+1}{n+2}$ Logo, $a_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)+2}=\frac{2n+3}{n+3}.$

Agora, calculemos a diferença:

=\frac{(2n+3)(n+2)-(2n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}.$$ Expandindo os numeradores: - $(2n+3)(n+2)=2n^2+7n+6$; - $(2n+1)(n+3)=2n^2+7n+3$. Portanto, $$a_{n+1}-a_n=\frac{(2n^2+7n+6)-(2n^2+7n+3)}{(n+3)(n+2)} =\frac{3}{(n+3)(n+2)}.$$ Como $(n+3)(n+2)>0$ para todo $n\in\mathbb{N}$, segue que $$a_{n+1}-a_n=\frac{3}{(n+3)(n+2)} > 0.$$ Assim, $a_{n+1}>a_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$ (em particular, para todo $n\ge 1$), e a sucessão $(a_n)$ é estritamente crescente.