Um analista financeiro modela um investimento de R$ 20.000,00 sob um regime de juros compostos de 2% ao mês. O modelo prevê que, ao final de cada mês ímpar (1, 3, 5,...), após a capitalização, será realizado um aporte adicional de 5% sobre o montante daquele momento. Ao final de cada mês par (2, 4, 6,...), após a capitalização, será feita uma retirada de 10% sobre o montante. Qual expressão matemática representa o montante (M) na conta do investidor após a conclusão de 2n meses, onde n é um inteiro positivo?

A cada mês ocorre primeiro a capitalização de 2% (fator $1{,}02$) e depois o aporte/retirada, ambos percentuais sobre o montante do momento (logo, fatores multiplicativos).

• Mês ímpar (1, 3, 5, ...): após capitalizar, faz aporte de 5% do montante $\Rightarrow \text{fator do mês ímpar} = 1{,}02\cdot 1{,}05.$

• Mês par (2, 4, 6, ...): após capitalizar, retira 10% do montante $\Rightarrow \text{fator do mês par} = 1{,}02\cdot 0{,}90.$

Um ciclo de 2 meses (ímpar + par) multiplica o montante por $\big(1{,}02\cdot 1{,}05\big)\big(1{,}02\cdot 0{,}90\big)=1{,}02^2\cdot 1{,}05\cdot 0{,}90.$

Após $2n$ meses, há exatamente $n$ ciclos de 2 meses, então $M = 20000\cdot \big(1{,}02^2\cdot 1{,}05\cdot 0{,}90\big)^n,$ que corresponde à alternativa (D).