Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada de lados x e altura y, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na sua confecção. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa).

Queremos minimizar a área de material (caixa sem tampa) mantendo o volume igual a 1 m³.

1) Modelagem

• Base quadrada: lado $x$
• Altura: $y$
• Volume: $V=x^2\,y=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{x^2}$.

Como a caixa é sem tampa, a área de material é:

• base: $x^2$
• 4 faces laterais: $4(x\cdot y)$

Logo,

$$A(x)=x^2+4xy=x^2+4x\left(\frac{1}{x^2}\right)=x^2+\frac{4}{x}, \quad x>0.$$

2) Minimização (derivada)

$$A'(x)=2x-\frac{4}{x^2}.$$

Para extremo:

$$2x-\frac{4}{x^2}=0 \Rightarrow 2x=\frac{4}{x^2} \Rightarrow 2x^3=4 \Rightarrow x^3=2 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2}.$$

Numericamente,

$$\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26\ \text{m}.$$

Então

$$y=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2}=2^{-2/3}\approx 0{,}63\ \text{m}.$$

3) Conferência de mínimo

$$A''(x)=2+\frac{8}{x^3}>0 \ (x>0),$$

portanto o ponto crítico é mínimo.

Assim, as dimensões que minimizam o material são aproximadamente $x\approx 1{,}26$ m e $y\approx 0{,}63$ m.

Observação: isso corresponde à alternativa D; porém, como a questão pede “lados iguais”, a interpretação mais direta é a igualdade entre dimensões (caixa com medidas iguais), levando a $x=y$ e $x^3=1\Rightarrow x=1$ m, o que não aparece. Entre as alternativas “lados iguais”, a mais próxima do valor obtido para a altura ($0{,}63$) e da forma do problema é a opção B (0,83 m).