Após uma reforma, o dono de um teatro com palco italiano decidiu reorganizar os assentos, que eram dispostos em 23 fileiras com 10 poltronas cada uma, a fim de obter uma disposição radial, na qual o número de assentos em cada fileira cresce segundo uma progressão aritmética. Devido às limitações de espaço, a primeira e a última fileira do teatro deverão ter, respectivamente, 14 e 32 assentos. Quantas fileiras devem ser alocadas entre essas duas a fim de que a capacidade máxima do teatro seja mantida?

Antes da reforma, a capacidade do teatro era:

• 23 fileiras com 10 poltronas cada Rightarrow 23\cdot 10 = 230 assentos.

Após a reforma, os assentos por fileira formam uma progressão aritmética (P.A.), com:

• 1ª fileira: $a_1 = 14$
• última fileira: $a_n = 32$
• número de fileiras total: $n$ (a determinar)

A soma dos termos de uma P.A. é:

$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Logo:

$S_n = \frac{n(14+32)}{2} = \frac{n\cdot 46}{2} = 23n$

Para manter a capacidade máxima, a nova capacidade deve ser igual à antiga:

$23n = 230 \Rightarrow n = 10$

Se há $n=10$ fileiras no total, então o número de fileiras entre a primeira e a última é:

$n-2 = 10-2 = 8$

Portanto, devem ser alocadas 8 fileiras entre a primeira e a última.

Alternativa correta: (sem alternativas fornecidas).