Demonstre que $2^n < n!$ para $n \ge 4$.

Queremos provar que $2^n < n!$ para todo inteiro $n\ge 4$.

Prova por indução (forte o suficiente para este caso):

1. Caso base ($n=4$): $2^4=16 \quad\text{e}\quad 4!=24.$ Logo, $2^4<4!$.

2. Passo indutivo: Suponha que para algum $k\ge 4$ valha a hipótese indutiva $2^k<k!.$ Queremos mostrar que então $2^{k+1}<(k+1)!$.

Começamos multiplicando a hipótese por $2$: $2^{k+1}=2\cdot 2^k < 2\cdot k!.$

Agora comparamos $2\cdot k!$ com $(k+1)!$: $(k+1)!=(k+1)\cdot k!.$ Como $k\ge 4$, temos $k+1\ge 5$, portanto $k+1>2$. Multiplicando a desigualdade $2<k+1$ por $k!>0$, obtemos: $2\cdot k! < (k+1)\cdot k!=(k+1)!.$

Encadeando as desigualdades: $2^{k+1} < 2\cdot k! < (k+1)!,$ logo $2^{k+1}<(k+1)!$.

3. Conclusão: Pelo princípio da indução matemática, $2^n<n!$ para todo $n\ge 4$.

Alternativa correta: (sem alternativas).