Um empréstimo no valor de R$ 500.000,00 será quitado segundo o Sistema de Amortização Constante (SAC). O contrato estabelece um prazo de 40 meses para a quitação, com parcelas mensais, postecipadas e juros fixos de 2% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor remanescente do período imediatamente anterior. Sabe-se que uma das parcelas mensais terá valor de R$ 18.250,00. Desconsiderando-se quaisquer encargos adicionais, tais como IOF, seguros, moras e taxas, é correto concluir que esse é o valor de qual parcela mensal?

No SAC, a amortização é constante:

• Valor financiado: $PV=500{.}000$
• Prazo: $n=40$ meses
• Amortização mensal: $A=\frac{PV}{n}=\frac{500{.}000}{40}=12{.}500$
• Juros do mês $k$ (parcela $k$): incidem sobre o saldo devedor do mês anterior: $J_k=i\cdot SD_{k-1}$ com $i=0{,}02$.
• Saldo devedor após $(k-1)$ amortizações: $SD_{k-1}=PV-(k-1)\cdot A=500{.}000-(k-1)\cdot 12{.}500$
• Valor da parcela $k$: $P_k=A+J_k=12{.}500+0{,}02\,[500{.}000-(k-1)\cdot 12{.}500]$

Igualando ao valor dado ($18{.}250$):

$$18{.}250=12{.}500+0{,}02\,[500{.}000-(k-1)\cdot 12{.}500]$$ $$18{.}250-12{.}500=5{.}750=0{,}02\,[500{.}000-(k-1)\cdot 12{.}500]$$ $$\frac{5{.}750}{0{,}02}=287{.}500=500{.}000-(k-1)\cdot 12{.}500$$ $$(k-1)\cdot 12{.}500=500{.}000-287{.}500=212{.}500$$ $$k-1=\frac{212{.}500}{12{.}500}=17 \quad\Rightarrow\quad k=18$$

Conferindo: $SD_{17}=500{.}000-17\cdot 12{.}500=287{.}500$; juros $=0{,}02\cdot 287{.}500=5{.}750$; parcela $=12{.}500+5{.}750=18{.}250$.

Logo, R$ 18.250,00 é o valor da 18ª parcela.