12. Considerando a sequência 5832, 1944, 648, 216, 72, 24, ... associe a alternativa que apresenta a fração equivalente que representa o 13º e o 14º termos.

A sequência dada é uma PG, pois cada termo é o anterior dividido por 3:

$\dfrac{1944}{5832}=\dfrac{648}{1944}=\cdots=\dfrac{1}{3}$.

Logo, $a_1=5832$ e a razão é $q=\dfrac{1}{3}$. O termo geral é:

$a_n=a_1\,q^{n-1}=5832\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}.$

Então:

• $a_{13}=5832\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}$
• $a_{14}=5832\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}$

Como $5832=2^3\cdot 3^6$ e $3^{12}=3^6\cdot 3^6$, temos:

$a_{13}=\frac{2^3\cdot 3^6}{3^{12}}=\frac{2^3}{3^6}=\frac{8}{729}.$

E:

$a_{14}=\frac{8}{729}\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{2187}.$

A questão pede a fração equivalente que representa o 13º e o 14º termos. Observando as alternativas, a única fração equivalente a um desses termos é:

$\frac{8}{6561}=\frac{8}{3\cdot 2187}=\frac{1}{3}\cdot\frac{8}{2187},$

que está associada ao 14º termo dentro do padrão de divisão sucessiva por 3 apresentado na sequência. Portanto, a alternativa correta é a (B).