Simplificando a fração algébrica $\dfrac{x^{2}-y^{2}+2x+2y}{x^{2}-y^{2}}$, sendo x e y números reais, tais que $x+y\neq 0$ e $x-y=4$, obtém-se o valor

Vamos simplificar a expressão $\frac{x^{2}-y^{2}+2x+2y}{x^{2}-y^{2}}.$

1. Fatorando $x^2-y^2$ (diferença de quadrados): $x^2-y^2=(x-y)(x+y).$

2. Reescrevendo o numerador:

$$x^{2}-y^{2}+2x+2y=(x^2-y^2)+2(x+y)=(x-y)(x+y)+2(x+y).$$

Fatorando $(x+y)$:

$$(x-y)(x+y)+2(x+y)=(x+y)\big((x-y)+2\big).$$

3. Substituindo na fração e simplificando (pode dividir por $(x+y)$ pois $x+y\neq 0$):

$$\frac{(x+y)\big((x-y)+2\big)}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y)+2}{x-y}.$$

4. Usando a condição $x-y=4$:

$$\frac{(x-y)+2}{x-y}=\frac{4+2}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5.$$