1. (UNICHISTUS) Dadas as equações $\log_{4} a + \log_{4} b^{2} = 4$ e $\log_{8} b + \log_{4} a^{2} = 8$, conclui-se que o produto de $a$ e $b$ é

Das equações:

1. $\log_{4} a + \log_{4} b^{2} = 4 \Rightarrow \log_{4}(a\,b^{2})=4 \Rightarrow a b^{2}=4^{4}=256$.

2. $\log_{8} b + \log_{4} a^{2} = 8$.

Escrevendo tudo na base 2:

• $\log_{8} b = \dfrac{\log_{2} b}{\log_{2} 8}=\dfrac{\log_{2} b}{3}$.
• $\log_{4} a^{2} = \dfrac{\log_{2} a^{2}}{\log_{2} 4}=\dfrac{2\log_{2} a}{2}=\log_{2} a$.

Então a 2ª equação vira: $\frac{\log_{2} b}{3}+\log_{2} a=8.$ Multiplicando por 3: $\log_{2} b + 3\log_{2} a=24 \Rightarrow \log_{2}(b a^{3})=24 \Rightarrow b a^{3}=2^{24}.$

Agora, de $ab^{2}=256=2^{8}$ temos $a=\dfrac{2^{8}}{b^{2}}$. Substituindo em $ba^{3}=2^{24}$: $b\left(\frac{2^{8}}{b^{2}}\right)^{3}=2^{24}\Rightarrow b\cdot\frac{2^{24}}{b^{6}}=2^{24}\Rightarrow \frac{2^{24}}{b^{5}}=2^{24}\Rightarrow b^{5}=1.$ Como $b>0$ (domínio do logaritmo), segue que $b=1$. Então $a=\dfrac{2^{8}}{1}=256$.

Logo, $ab=256\cdot 1=256$.