Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos (iguais a zero). Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Essa solução é chamada de solução trivial de um sistema homogêneo. De acordo com todas as informações apresentadas anteriormente, determine o valor de k no sistema abaixo de forma que ele tenha solução distinta da solução trivial (x = 0, y = 0 e z = 0).

Para um sistema homogêneo ter solução diferente da trivial (isto é, existir solução não nula), é necessário que o sistema tenha infinitas soluções, o que ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Matriz dos coeficientes:

$A=\begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}$

Calculando $\det(A)$ pela 1ª linha:

$\det(A)=2\begin{vmatrix}1&1\\0&k\end{vmatrix}-(-5)\begin{vmatrix}1&1\\2&k\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}$

Agora, cada determinante $2\times 2$:

1. $\begin{vmatrix}1&1\\0&k\end{vmatrix}=1\cdot k-1\cdot 0=k$

2. $\begin{vmatrix}1&1\\2&k\end{vmatrix}=1\cdot k-1\cdot 2=k-2$

3. $\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot 2=-2$

Substituindo:

$\det(A)=2(k)+5(k-2)+2(-2)$

$\det(A)=2k+5k-10-4$

$\det(A)=7k-14$

Para haver solução não trivial:

$\det(A)=0 \Rightarrow 7k-14=0 \Rightarrow 7k=14 \Rightarrow k=2.$