Calcule a soma de todos os números naturais de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 3 e 4, sem repeti-los.

Queremos somar todos os números de 3 algarismos formados com 2, 3 e 4, sem repetição. Isso gera todas as permutações desses 3 algarismos:

$234,\ 243,\ 324,\ 342,\ 423,\ 432$.

Há $3! = 6$ números.

Em todas as permutações, cada algarismo (2, 3 e 4) aparece o mesmo número de vezes em cada posição (centena, dezena e unidade). Fixando uma posição qualquer:

• há $2! = 2$ maneiras de permutar os outros dois algarismos,
• então cada algarismo aparece $2$ vezes em cada posição.

Assim, a contribuição total:

• nas centenas: $2\cdot(2+3+4)\cdot 100$
• nas dezenas: $2\cdot(2+3+4)\cdot 10$
• nas unidades: $2\cdot(2+3+4)\cdot 1$

Somando:

$$2\cdot(2+3+4)\cdot(100+10+1)=2\cdot 9\cdot 111=18\cdot 111=1998.$$

Logo, a soma é 1998.