Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais da mesma corda para fixar uma tábua a uma barra horizontal. Por segurança opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja 25% superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições: - O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a 90°. - Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de 24 kg. Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular uniforme, considera que a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s² e despreza forças dissipativas. Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?

1. Dados

• Massa máxima: $m=24\,\text{kg}$
• Gravidade: $g=10\,\text{m/s}^2$
• Ângulo máximo em relação à vertical: $\theta_{\max}=90^\circ$
• O balanço é preso por dois segmentos paralelos e iguais de corda (cada um com a mesma tensão $T$).

2. Velocidade no ponto mais baixo (energia mecânica) Ao atingir $90^\circ$, a criança está na mesma altura do ponto de suspensão (fio horizontal). Ao descer até a posição vertical (ponto mais baixo), a queda vertical é igual ao comprimento do fio $L$.

Conservação de energia (sem dissipação): [ mgL=\frac12 mv^2\ \Rightarrow\ v^2=2gL. ]

3. Força centrípeta no ponto mais baixo Aproximando por movimento circular, no ponto mais baixo: [ F_c=\frac{mv^2}{L}=\frac{m(2gL)}{L}=2mg. ]

4. Equilíbrio radial no ponto mais baixo No sentido radial para cima:

• As duas cordas puxam para cima: $2T$
• O peso puxa para baixo: $mg$

Logo: [ 2T - mg = \frac{mv^2}{L} = 2mg \Rightarrow\ 2T = 3mg \Rightarrow\ T = \frac{3}{2}mg. ]

Calculando: [ T=\frac{3}{2}\cdot 24\cdot 10 = 360,\text{N}. ] Esse é o maior valor da tensão em cada segmento (ocorre no ponto mais baixo).

Então $T_{\max}=360\,\text{N}$.

5. Tensão de ruptura (25% acima da máxima) [ T_{ruptura}=1{,}25,T_{\max}=1{,}25\cdot 360 = 450,\text{N}. ]

Alternativa correta: (D).