3. Na figura está representado o triângulo [ABC]. 3.1 Mostra que [ABC] é um triângulo retângulo. 3.2 Indica as razões trigonométricas do ângulo α.

3.1 Para verificar se é retângulo, aplica-se o Teorema de Pitágoras ao maior lado ($AC=34$):

$$AB^2+BC^2=16^2+30^2=256+900=1156=34^2=AC^2.$$

Como a soma dos quadrados dos dois lados menores é igual ao quadrado do maior lado, o triângulo é retângulo, com hipotenusa $AC$ e ângulo reto no vértice comum a $AB$ e $BC$, isto é, em $B$.

3.2 Considerando o ângulo $\alpha$ em $C$:

• hipotenusa: $AC=34$ (oposta ao ângulo reto);
• cateto adjacente a $\alpha$: $BC=30$;
• cateto oposto a $\alpha$: $AB=16$.

Assim, pelas definições:

$$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{30}{34}=\frac{15}{17},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}.$$