Quais as unidades do número pi?

O número $\pi$ é definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência ($C$) e o seu diâmetro ($d$):

$\pi = \frac{C}{d}.$

Tanto $C$ quanto $d$ são medidas de comprimento e, portanto, têm a mesma unidade (por exemplo, metros, centímetros etc.). Ao dividir duas grandezas com a mesma unidade, as unidades se cancelam:

$\frac{\text{m}}{\text{m}} = 1.$

Assim, $\pi$ é uma constante adimensional, ou seja, sem unidade de medida.