Qual o volume gerado quando a área entre o eixo x e o traçado de y = 2x^2 - x^3 gira em torno do eixo x?

Para achar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo $x$, usamos o método dos discos/anel:

1. Determinar a região no eixo $x$ A área “entre o eixo $x$ e o traçado” de $y = 2x^2 - x^3 = x^2(2-x)$ fica onde $y\ge 0$. Como $x^2\ge 0$, então $y\ge 0 \iff 2-x\ge 0 \iff x\le 2$. Os zeros são em $x=0$ (raiz dupla) e $x=2$. Assim, a região limitada com o eixo $x$ é no intervalo $[0,2]$.

2. Volume por rotação (discos) Ao girar em torno do eixo $x$, o raio do disco é $r(x)=y(x)$ e: $V=\pi\int_{0}^{2} [y(x)]^2\,dx=\pi\int_{0}^{2}(2x^2-x^3)^2\,dx.$

3. Expandir e integrar $(2x^2-x^3)^2 = x^4(2-x)^2 = x^4(4-4x+x^2)=4x^4-4x^5+x^6.$ Logo, \begin{align*} V&=\pi\int_0^2 (4x^4-4x^5+x^6),dx \ &=\pi\left[\frac{4}{5}x^5-\frac{4}{6}x^6+\frac{1}{7}x^7\right]_0^2 \ &=\pi\left(\frac{4}{5}\cdot 32-\frac{2}{3}\cdot 64+\frac{1}{7}\cdot 128\right). \end{align*} Calculando: $\frac{128}{5}-\frac{128}{3}+\frac{128}{7}=128\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right).$ MMC $=105$: $\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{21-35+15}{105}=\frac{1}{105}.$ Então, $V=128\cdot\frac{1}{105}\pi=\frac{128}{105}\pi.$

Portanto, o volume é $\frac{128}{105}\pi$.

Alternativa correta: (D).